求知欲和兴趣是学生积极探索获取知识的动力。因此，在引入概念教学时，应充分运用感性材料（直观教具）或生活经验，创设一些学生易于接受知识的、具有引力的教学环境，唤起学生的求知欲，激发学生对所学问题的注意和下面是小编为大家整理的小学数学概念论文【五篇】（精选文档）,供大家参考。
小学数学概念论文范文第1篇
一、创设情景，形成概念
求知欲和兴趣是学生积极探索获取知识的动力。因此，在引入概念教学时，应充分运用感性材料（直观教具）或生活经验，创设一些学生易于接受知识的、具有引力的教学环境，唤起学生的求知欲，激发学生对所学问题的注意和兴趣，促使他们自觉主动地获取知识。如在教学“体积”概念时准备一个透时杯子，里面盛半杯清水，让学生观察实验。学生发现：放进一块小石头，水面升高一些，取出小石块，水面隆低到原处；
再放一块大一些石头，水面比第一次升高多一些……这时，学生兴趣盎然，注意力集中，经过思维的深化很快得出：“任何物体都占有一定的空间，小的物体占空间小，大的物体占空间大。物体所占空间的大小，叫做体的体积。”
二、抽象概括，建立概念
抽象概括是人脑对事物进行去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里的过程，是感性向理性转化的桥梁，也是形象思维抽象思维飞跃的纽带。因此，在引入概念时，教师必须让学生通过归纳，概括，准确地把事物的本质，抽象出概念，如：“教师乘法的初步认识”时，依法贴出红花的集合图，引导学生观察，从感性上认识求“几个相同加数的和”是什么意思，并知识可以用乘法算，接着增加相同加数的个数，个数越多，算式越长，长的算式学生会感到计算麻烦，而用乘法计算就比较简便，这样就可以使学生概括出乘法的意义：“求几个机同加数的和的简便运算，叫做乘法。”建立了乘法的概念。
三、运用比较法，理解概念。
任何数学概念都有一定的适合范围，而一个概念常常写一些相关概念有联系又有本质的区别。因此，要重视概念的运用范围，把相近概念放在一起，引导学生比较、分析，讨论就有利于学生把握住每个概念的和外延，避免出现概念混淆的现象。如，学生常常“整除”与“除尽”的联系和区别。通过比较，使学生清楚地认识两个概念的从属关系，从而把握住“整除”的概念。
小学数学概念论文范文第2篇
本文论述了信息技术与数学教学整合的教学模式研究的现状及其重要性，分析了构建信息技术与数学教学整合的教学模式的原则，并探讨了在主导——主体教学理论的指导下构建的5种概念、规律和几何整合教学模式的目标、操作程序、适用条件以及评价方法。
关键词：信息技术数学教学整合教学模式 1引言 现代教育技术广泛应用于教育领域，不仅从手段上，而且从观念上、教学模式上都引起教学的深层次变革，信息技术与课程整合成了教学改革的一个突破口。然而，目前信息技术在中小学理科教学的应用水平仍然非常低，大多是作为教学内容的展示工具。中小学理科教师对于如何将信息技术与理科教学整合感到非常困惑，他们心中也产生了许多问题，如“什么时候用信息技术比较合适？怎么用？”、“怎么做才能体现‘主导——主体’教学思想？”、“怎么做才算是信息技术与课程整合？”，要回答这些问题，除了让中小学教师掌握先进的教育教学理论、信息技术以外，更为重要的是进行基于信息技术与课程整合思想的教学模式的研究，为中小学教师的教学实践提供一个可参考的范式。教学模式是在一定的教育思想、教学理论和学习理论指导下的，为完成特定的教学目标和内容而形成的比较稳定且简明的教学结构理论框架及其具体可操作的教学活动方式。教学模式是教学理论与教学实践的桥梁，既是教学理论的应用，对教学实践起直接指导作用，又是教学实践的理论化、简约化概括，可以丰富和发展教学理论。研究“主导——主体”教学思想指导下信息技术与理科教学整合的教学模式，为中小学教师提供一些可用于指导教学实践并借以改造的教学模式，对于推进信息技术与课程整合就显得非常重要而迫切。
2信息技术与数学教学整合的教学模式研究现状 有关信息技术与学科教学整合的教学模式方面的研究，语文学科走在其他学科的前面。由北京师范大学现代教育技术研究所主持的全国学科“四结合”（原为全国语文“四结合”）课题组和试验学校的教师们结合长达7年之久试验研究的实践，提出了几十种信息技术与语文教学整合的教学模式。与信息技术与数学教学整合相关的研究，基本上形成三足鼎立的局面：一是数学教学模式的研究，二是信息技术与课程整合模式的研究，三是计算机应用于数学教学的作用和方式的研究。关于信息技术与数学教学整合模式的研究却很少，有的也只是零星的、个别的。
自从20世纪70年代美国的乔伊斯和韦尔等开创性地提出将教学模式作为教学研究领域的一个独立研究方向以来，教学模式的研究一直是教学研究领域一个重要的课题。数学教学模式的研究近些年来呈现欣欣向荣的景象。贝尔在其著作《中学数学的教与学》中提出先行组织者、发现法、证明定理、解决问题、利用计算机等许多数学教学模式。由冯克诚、田晓娜主编的《最新教学模式全书》中也提出了数十种数学教学模式，还有《数学教育学报》、《中学数学教学参考》《教法与学法》、《数学通报》等期刊上名目繁多的数学教学模式，真可谓是百家争鸣、百花齐放。研究数学教学模式的学者和教师从数学学科教学的视角研究教学模式，对数学教学实践具有较好的指导作用，然而以计算机为核心的信息技术在这些教学模式中最多只是起一种教学手段或教学媒体的作用，贝尔提到的利用计算机教学也仅仅是众多教学模式中的一种，对于当前如何有效地将信息技术与数学教学全面整合起来的问题缺乏直接的指导作用。
近年来，信息技术与课程整合模式的研究引起了教育技术界的重视，提出了不少信息技术与课程整合的模式，如何克抗教授提出的讲授、个别辅导、探索、协作等5类网络教学模式，祝智庭教授总结归纳的个别授导、教学模拟、智能导师、问题解决等23种信息化教学模式，李克东教授提出的情境——探究式、小组合作——远程协商式等4种数字化学习模式。这些信息化教学模式对于信息技术与数学教学整合有很好的借鉴作用，但由于其学科的普适性而缺乏数学教学的针对性。
计算机应用于数学教学前期研究的重点在于如何充分发挥计算机辅助教学的工具，近些年来则更加关注计算机认知工具的作用，尤其是校园网、因特网在中小学的广泛普及以及“几何画板”、“mathcad”、“mathematica”、“Excel”等软件的引入与使用，许多数学教学研究人员和数学教师对于将信息技术与数学教学整合进行了有益的探索，并取得了一定的效果，其中运用“几何画板”革新数理化教学（特别是数学教学）的试验研究项目取得了尤为显著的影响和效果，如运用“几何画板”讲授抽象的数学概念、做数学实验都取得了较好的效果。但是这些计算机应用于数学教学的研究大多停留在计算机作用的描述、教学经验描述的层面上，没有对这些经验进行理论化、抽象化、模式化的概括，不利于其他教师的借鉴和运用。
3构建信息技术与数学教学整合的教学模式的原则 教学模式是教学过程的简约化描述，但教学程序却不等于教学模式。教学模式的构建虽然具有一定的主观性，受到构建者对教学规律和原理的理解和具体的教学实践的影响，但是必须在教育教学理论的指导下，符合教学规律，为实现教学目标服务，也就是说我们构建信息技术与数学教学整合的双主教学模式也要遵循一定的原则。
3.1基于主导——主体教学理论的原则 教学模式与教学思想、教育教学理论有天然的联系，没有一定理论的指导，教学模式就没有了灵魂。一个完整的教学模式应该包含主题、目标、条件（或称手段）、程序和评价五个要素（张武升，1988）。主题即教学模式所依据的教学思想或理论，对教学活动作出理论的解释，规定了教学模式的本质，还渗透、影响其他四个要素。影响教学模式的理论基础有现代的教育思想、学习理论、教学理论等。现代教育思想的指导从根本上把握了教学模式培养人的最终目标；
学习理论解释学习的内在机制，要求教学符合学生的认知规律，学习是有意义的学习；
教学理论是用于指导教学操作程序和方法的系统理论，直接指导教学模式的形成。
“主导——主体”教学理论是构建信息技术与数学教学整合教学模式最主要的理论依据，“主导——主体”教学理论取建构主义学与教理论和奥苏贝尔等以“教为中心”的学与教理论之长，避两者之短，认为在教学的展开进程中，要充分尊重学生的学习主体地位，让学生对教学内容进行自主学习、自主思考，教师则在教学过程中起学习内容的选择、学习过程的组织、帮助和指导等主导性作用，使学与教有机的统一起来，体现了以人的全面发展为最终目标的教育思想。
3.2体现数学教学特点的原则 为数学教学服务所构建的信息技术与数学教学整合的教学模式不可避免地受到数学的特征、数学教学的特点、原则以及数学教学改革的趋势和方向的影响。数学既是基础性学科又是工具性学科，因此数学教学既要重视基本知识、基本概念、数学思维方法的教学，又要重视数学知识的实际应用教学，重视学生实际问题解决能力的培养。针对现在数学只能为越来越少的人所掌握以及学了数学没有用处的情况，国际数学教育界提出“大众数学”、“人人都要学会的数学”的口号，美国数学教师协会（NCTM）在1989年3月制定的《学校数学课程与评价标准》中提出了全美学校数学教学目标：“为估价数学而学习，为数学推理而学习，为数学交流而学习，对于自己从事数学活动的能力有信心，成为数学问题的解决者”。我国新的数学课程标准也提出“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；
初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；
体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；
具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展”。这些数学教学目标为现代数学教学提供了如下启示：
基于“做”（hand-on）的教学——学习抽象的数学概念之前，让学生做数学实验、动手操作实物或模型，培养数学的意识，强调培养学生动手的能力；
基于思维（mind-on）的教学——关注核心概念、有判断力的思维方法和能力的教学，以使学生重构并形成自己的数学概念和关系，强调思维的培养。
基于事实（reality-on）的教学——使学生学会探索、发现、讨论和有意义建构用于解决现实问题的数学概念和关系，培养学生用数学的方法来解决问题的能力。
3.3基于信息技术与课程整合思想的原则 信息技术与课程整合是指在课程教学过程中把信息技术、信息资源、信息方法、人力资源和课程内容有机结合，共同完成课程教学任务的一种新型的教学方式（李克东，2001）。信息技术与课程整合不是一朝一夕的事，而是经过许多中间过程的，最终将信息技术作为辅助学习的高级认知工具，并带动教育的全面改革。根据信息技术与课程整合的不同程度和深度，将整合的进程大略分为三个阶段（马宁、余胜泉，2001）：封闭式、以知识为中心的整合阶段，信息技术作为演示、交流和个别辅导的工具；
开放式的、以资源为中心的整合阶段，信息技术作为资源环境、信息加工工具、协作工具和研发工具；
全方位的课程整合阶段，信息技术与课程整合引起了课程内容、教学目标和教学组织架构的全面变革。构建基于课程整合的数学教学模式要充分利用教育技术的优秀成果，并根据教学内容的特点选择适当的整合方式，强调将信息技术认知工具的作用，加强整合的深度，而不是仅仅将信息技术作为演示的工具。
3.4最优化教学效果的原则 教学模式是教学理论在教学实践中的运用和具体化，来自于教学实践。教学实践是教学模式的基石，教学模式必须用于教学实践才有其存在的必要，也只有通过教学实践的检验才能不断完善。因此，在研究教学模式的同时，还要将之用于实实在在的教学活动中，研究教学模式是否有利于提高数学教学的效率和效果，这是我们研究和构建模式的根本所在，也是验证模式是否有效、是否值得推广的基本途径。
4几种信息技术与数学教学整合的双主教学模式 教学模式的研究是理论与实践的“中介”研究，其“中介”性质决定了教学模式的研究有演绎法和归纳法两种方法。演绎法采用实证研究的方法，“从一种思想和理论假设出发，设计一种教学模式，用实验检验证明其有效后，确立这一教学模式”（张武升，1988）。归纳法是在大量教学实践基础上总结、概括形成教学模式。随着教学理论和教育科学研究方法的发展和变革，尤其是现在对教师教育科研能力的重视以及运动研究方法再度受到关注，教学模式的研究更强调运用演绎法和归纳法相结合的方法。
我们运用演绎法和归纳法结合的方法就数学的概念、规律、几何教学构建了5种信息技术环境下的双主教学模式，下面就对这5种模式的操作程序、适用条件、评价等进行阐述。
4.1概念的归纳——获得教学模式 “概念的归纳——获得教学模式”是在参考乔伊斯（B.Joyce）和韦尔（M.Well）的“概念获得模式”和塔巴（HildaTaba）的“概念发展教学模式”的基础上提出的，其目标是让学生形成正确的概念、了解概念的含义以及通过参与和反思概念化的过程，提高分析和概括的思维能力。概念的归纳——获得教学模式包括七个步骤。
（1）情景导入，明确教学目的 情景导入的目的是激发学生的学习兴趣，建立学习的心理倾向。所创设的情景一定要与要讲授的概念有关，可以是与概念相关的生活实例、资料，可以是一些例子，也可以是用以明示该概念与其他概念关系（上位、下位、并列组合）的先行组织者等。在概念学习之前，教师要向学生阐明本课的目的是通过寻找其本质属性界定某一概念。
（2）呈现例子，分类归纳 教师选择一些肯定性例子（具备概念所有属性的例子）和否定性例子（不具备或不完全具备概念属性的例子），然后呈现给学生，让他们把相似的归为一类，并找出其共同属性（即归类理由）。如果低年级学生的分析能力不够强，则可以先呈现肯定性例子，让学生提取其中的共同属性，再呈现否定性例子，剔除非本质属性，引起学生对本质属性的注意，加强对本质属性的认识。
（3）提出概念假设 当学生把所有的属性都罗列出来后，要求学生给这组例子取一个名称，思考如何用这些属性来表述这个名称，此时教师不要对任何学生的观点进行评价，要鼓励他们多思考、多说。
（4）呈现例子，检验假设 同样呈现一些肯定性和否定性的例子，让学生用自己提出的假设判断是否所有的肯定性例子都能归到概念组中、概念是否已包含了所有的本质属性，必要时可以将一些属性添加到概念中。
（5）概括总结，形成概念 教师展示全体学生提出的概念属性和概念假设，要求学生共同提取该概念所包含的所有本质属性，用简练的语言概括出概念，然后再现概念的规范表述。
（6）应用概念，巩固理解 可以呈现一些比较复杂的例子，让学生应用概念进行分类，也可以让学生自己举出一些符合该概念的例子，加深他们对概念的理解。
（7）反思概念化过程 教师可以用问题来激励学生回忆、反思、讨论自己概念化的过程，如“请回忆一下你们得出这一定义的过程，你们是怎么确定其主要特征的”，从而提高其思维能力。
在上述过程中信息技术的作用以及教师和学生在过程中的活动可用表1来概括。
表1概念的归纳——获得教学模式中信息技术的作用和师生活动 模式程序信息技术的作用（理想状态）教师活动学生活动 情景导入，明确教学目的情景创设工具创设情景，说明教学目的明确目的，建立心理倾向 呈现例子，分类归纳例子展示、操练、表征观点（提取的概念属性）工具选择例子，确定呈现方式，收集概念属性例子分类，归纳概念属性 提出概念假设表征观点、交流讨论工具鼓励学生思考、发言，收集学生提出的假设提出属性和名称，讨论 呈现例子，检验假设展示例子、操练、表征观点、交流讨论工具选择例子，阐明阶段目的，参与讨论，收集概念属性假设例子判断，归纳属性，讨论 概括总结，形成概念呈现假设、表征观点、交流讨论工具展示概念属性和假设，参与讨论，评价学生概括的概念概括概念，讨论互评 应用概念，巩固理解呈现例子、操练工具选择例子，评价效果判断，举例 反思概念化过程交流讨论工具提问引发讨论反思，讨论 这种教学模式适合于讲授那些具有明确属性的概念，如有（无）理数、方程、等式等，也可以用于教授代数运算法则，如合并多项式、合并同类项等，对信息技术的要求不高，有大屏幕投影设备和一台计算机的教室基本满足教学条件（讨论口头进行，分类、提出假设可用纸代替），但是在教学前，教师必须选择准备好肯定性和否定性例子以及一些复杂的、似是而非的例子。教学的效果可以用判断、举例的方法来评价学生是否已理解、获得了该概念。
4.2规律的应用——探究教学模式 学习规律的目的是为了应用规律，此模式的目标是使学生通过应用概念和规律加深对概念和规律的理解，培养数学方法的应用能力和实际问题的解决能力，包括六个阶段。
（1）情景导入，明确问题 利用多媒体计算机创设现实问题情景，激发学生解决问题的兴趣，明确要解决的问题。
（2）分析问题，明确应用的概念或规律 让学生思考分析问题，提取问题中的已知条件、未知条件和要求的结果，引导学生讨论解决该问题需要用到的数学概念和规律，确定解决问题的概念和规律。
（3）分组讨论，提出假设 先将学生分成若干个小组，以小组为单位猜想、讨论解决问题的可能方案。这个阶段要鼓励学生多思考、多猜想，而不要求计算、证明，但是要给学生一定的时间限制，时间的长短则根据问题的难易程度而设定。
（4）共享方案，评价筛选 当学生已提出足够多的方案时，让小组成员汇报小组提出的方案。教师收集、汇总学生的方案，并把全部方案展示给全体学生，选出其中不同的方案后，让学生用逻辑推理的方法淘汰不可能的方案，进一步筛选出可能方案。
（5）计算证明，验证假设 让学生对剩下来的可能方案用严密的计算和证明的方法来验证其有效性。如果学生的信息能力较强，也可以要求学生用信息技术来表征最后的方案。
（6）汇报总结，反思 学生汇报验证的结果，总结问题的解决方案。如果方案比较复杂，教师可以用多媒体计算机来演示该方案解决问题的过程。最后要求反思解决问题的过程，讨论问题解决过程中所用的数学方法。
模式中信息技术的作用以及教师与学生的可能见表2。
表2规律的应用——探究教学模式中信息技术的作用和师生活动 模式程序信息技术的作用（理想状态）教师活动学生活动 情景导入，明确问题情景创设、问题呈现工具创设情景建立心理倾向，明确问题 分析问题，明确应用的概念或规律交流讨论工具引导，总结讨论，分析，确定应用的概念或规律 分组讨论，提出假设交流讨论、表征假设工具分组，设定讨论时间，鼓励学生，关注小组内所有成员的发言情况讨论，提出假设
共享方案，评价筛选展示方案、交流讨论工具收集、呈现方案，参与学生讨论汇报，讨论评价 计算证明，验证假设计算工具，实验环境，交流讨论工具提供工具，工具使用方法指导，提供帮助计算、证明，交流讨论 汇报总结，反思表征方案、交流讨论工具评价，总结，引发反思汇报，讨论总结，反思 此模式适用于与生活有关的计算公式、规则的复杂应用教学，如相遇问题、解方程问题等，对信息技术的理想要求是具有多媒体投影设备、网络环境、计算器、几何画板等数学探索工具等，要求教师和学生熟练使用Word、计算机、几何画板、网络交流讨论工具等。如果不具备网络教学环境，则学生的交流讨论可以口头进行。教学效果可以用解决类似问题来进行评价。
4.3几何概念、规律的“数学实验”教学模式 运用几何画板的“几何概念、定理的数学实验教学模式”的目标是通过“做”的教学，让学生正确理解几何中的概念、规律，了解概念、规律的形成原理，培养发现问题、转换问题的能力，培养用数学模型来解决问题的能力。该模式的步骤为：
（1）情景导入，明确目的 情景导入的目的是激发学生探究的兴趣，明确数学实验的重点（要学习的概念/规律），如用与教学内容相关的例子引入课题，如用飞机或飞机模型引入角平分线教学、用飞翔的蝴蝶引入轴对称概念的教学、演示离心率变化引起曲线变化的动画引入离心率概念的教学等。
（2）做“数学实验”，自主探索 学生明确了本课的目的后，让学生用几何画板做数学实验，利用教师编好的课件独立探索，发现数学概念包含的本质特征、规律形成的原理。如果学生能熟练使用几何画板，也可以让学生自己制作简单的课件。
（3）讨论总结，形成概念/提出规律 学生将探索获得的概念属性或规律与学习伙伴进行讨论，在教师的帮助、引导下提出正确的概念或规律。
（4）概念/规律应用 将所获得的概念或规律应用于解决一些问题，可以是进行一些练习，也可以是解决一些实际问题，如用轴对称概念解决“在河边建一个水电站，使之到两个供水站的距离之和最短”等。此时还可能用几何画板进行数学实验。
（5）反思 用提问的方法引起学生回忆、反思自己的学习过程，讨论如何获得概念、发现规律的，在应用规律的时候是如何应用规律的，用“数学实验”进行学习对自己解决问题有什么启示等。
表3说明了信息技术在此模式中的作用以及模式程序中教师和学生的活动。
表3几何概念、规律的数学实验教学模式中信息技术的作用与师生活动 模式程序信息技术的作用（理想状态）教师活动学生活动 情景导入，明确目的情景创设工具创设情景建立心理倾向，明确学习目的 做“数学实验”，自主探索实验环境，表征概念或规律工具提供工具，监控、帮助、引导做数学实验，探索，记录探索的心得 讨论总结，形成概念/提出规律交流讨论、表征概念或规律工具总结，评价讨论，提出概念，互评 概念/规律应用呈现问题工具，练习工具，实验环境提出问题，提供工具，监控、引导、帮助练习，做“实验” 反思交流讨论工具引发思考，参与讨论讨论，总结 这种模式适用于抽象的几何概念、几何定理、复杂概念的研究和利用几何知识解决问题教学，如轴对称概念、多边形的内角之和、离心率概念、复杂曲线的形成、空间几何等，也可以用于物理、化学的教学中。要求师生都熟练使用几何画板和Word、记事本等记录工具，可用需要转换的复杂问题来评价教学效果。
4.4基于Internet的数学计算应用——合作探索教学模式 现代数学教学强调数学与现实生活的联系，要求数学教学要从身边的生活问题出发、用于解决生活中的实际问题，Internet提供的丰富资源又为此提供了更广阔的空间。“基于Internet的数学计算应用——合作探索教学模式”就是为实现使学生将学到的数学计算知识用于解决生活问题、从而培养其联系实际、解决问题能力的目标而设计的，其步聚包括七个环节：
（1）情景导入，提出问题 情景创设的目的是激发学生探索、解决问题的兴趣，创设的情景要与学生的日常生活密切相关，而且要利用视频、音频、图片等多媒体信息来呈现问题，如深圳南山实验学校的易伟湘老师用悉尼奥运会的资料、用图片展示活动城市的情况[17]来调动学生的积极性取得了比较好的效果。
（2）分析问题，明确方向 要求学生分析解决问题需要确定哪些条件，这些条件与哪些数学知识有关系，最后确定解决问题涉及的数学概念，复习概念间的数量关系。
（3）小组学习，查找信息 教师按照学生的兴趣或位置关系将学生分成若干小组，确定每个小组成员都有相应的任务后，提供给学生信息记录表、相关的资源、网址或搜索引擎，传授学生使用这些资源的方法，让学生开始查信息。要求每个学生都独立自主地查找信息，他们所查找的信息都是为了解决共同的任务，是小组任务的一部分，培养他们协作的意识。这一阶段要给学生足够的时间和资源，使他们能进行充分的探索，学生还要及时记录所找到的信息。
（4）交流协作，解难释疑 当小组成员找到所需的信息后，让他们回到小组中，交流他们所查的信息以及为什么选择这些的理由，讨论其中分歧的意见以达成共识。对于一些学生容易忽视的因素，教师要及时引导。
（5）计算数据，问题解决 学生计算经过讨论的数据，比较、分析计算结果，讨论、选择恰当的解决方案。这里学生提出的解决方案可能不是惟一的，教师要鼓励学生多角度考虑解决方案，以培养他们的发散思维。
（6）成果汇报，讨论评价 学生在小组交流达成共识后，由小组成员向全班同学汇报学习的结果以及提出方案的理由，教师和其他组的学生可以就他们的方案提出适当的建议。
（7）反思 要求学生回忆探索、协作的过程，反思如何从问题中提取数学知识、怎样才能找到需要的信息、如何选择有用信息、解决该问题用了哪些数量关系、与小组成员协作是否愉快、学习伙伴有哪些值得自己学习的地方、打算以后怎么用这些数学知识和学习方法等等。
模式中信息技术的作用及教师与学生的活动如表4所示。
表4基于Internet的数学计算应用——合作探索教学模式中信息技术的作用及师生活动 模式程序信息技术的作用（理想状态）教师活动学生活动 情景导入，提出问题情景创设工具创设情景，阐明目的明确目的，建立心理倾向 分析问题，明确方向讨论工具，展示数量关系工具帮助学生提取、复习数学概念、数量关系分析、讨论，提出、复习数量关系 小组学习，查找信息信息探索、记录工具提供记录表、资源和工具，监控、帮助查找、记录数据 交流协作，解难释疑交流工具监控、引导，启发讨论，选择有用信息 计算数据，问题解决计算工具、表征方案工具提供工具，监控、引导计算、讨论，提出方案 成果汇报，讨论评价展示成果工具，讨论工具参与讨论，提出建议汇报，讨论、互评 反思讨论工具引发思考，参与讨论反思，讨论 这种模式适用于一些与日常生活有关的计算知识的教学，如行程问题、利息问题等。运用此模式进行教学的前提是具备并师生熟练使用Internet教学环境、Excel等电子表格工具、Word等文字处理工具软件。教学效果的评价可延续到课后进行，可让学生写学习体会、学生互评协作意识与协作能力。
4.5基于Internet的综合性应用问题的合作研究学习模式 这是一种多学科、多纬度的综合性教学模式，将知识、计算、规律的学习与解决实际问题等目标综合在一起。应用这种模式的教学一般不能在一节课中完成，根据项目的难易程度确定所需的时间。此模式的实施分为八个阶段：
（1）设置问题情境，提出问题 问题可以由教师口头提出或用展示某一事件引出，也可以由学生自己提出。问题的情景应该是真实的，能够引起学生探索的热情。
（2）分析问题，明确评价方法 要求学生分析问题情景中所隐含的数学知识，列出已掌握和未掌握数学概念的清单。教师向学生说明研究的成果形式以及评价的方法。
（3）组织小组，确定研究计划 教师按照一定的分组策略将学生分成若干个小组，或者由学生自行分组，小组人数以4-5人为佳。小组成员一起讨论研究的方法、进度以及小组成员的分工，制定研究计划表和数据记录表。
（4）自主探索，学习概念，查找信息 每个小组成员根据自己的任务分工，学习自己未掌握的数学知识，并开始收集与解决问题相关的信息。学生通过学习新的数学知识、查找所需的信息，逐步建构起关于该领域知识结构原形，并形成自主思维的能力与习惯。教师帮助学生判断所查信息的有效性。
（5）交流协作，完成数据表 学生搜索到所需的信息后，回到小组，与其他小组成员一起交流所找到的信息以及该领域的相关知识以及自己关于解决问题的见解，并用查到的信息完成数据表。如果交流发现有不恰当的数据或数据不充分，则需要重新查找数据。
（6）计算数据，提出假设 将所查的数据进行必要的单位转换、中间计算，计算出最终数据，形成各种可能的解决方案。
（7）讨论假设，问题解决 对提出的可能解决方案进行组内讨论，决定最佳解决方案。
（8）汇报，评价，反思 由小组成员向全体同学作出口头汇报，如果可能还需提交书面报告。教师和其他小组根据评价的方法对他们的研究进行评价。要求学生对研究的过程进行反思，思考自己又学到哪些新的知识、是怎么解决这个问题的、自己在小组中的贡献有多大等等。
在这个模式中，信息技术的作用以及教师和学生的可能活动见表5。
表5基于Internet的综合性应用问题的合作研究学习模式中信息技术的作用及师生活动 模式程序信息技术的作用（理想状态）教师活动学生活动 设置问题情境，提出问题情景创设工具创设情景，提出问题明确问题 分析问题，明确评价方法讨论工具，展示成果形式和评价方法的工具帮助引导，说明成果形式和评价方法分析问题，提取数学知识，了解成果形式和评价方法 组织小组，确定研究计划制定研究计划和数据电子表工具确定分组，提供工具和工具使用帮助分工，制定计划表和数据表 自主探索，学习概念，查找信息资源、查找工具，探索工具提供资源，监控、引导学习概念，查找信息 交流协作，完成数据表讨论工具，数据记录工具监控、帮助、引导讨论，输入数据 计算数据，提出假设计算工具，方案表征工具监控、帮助、引导计算数据，记录结果 讨论假设，问题解决讨论工具监控、帮助、引导讨论，提出方案，准备口头汇报，撰写研究报告 汇报，评价，反思汇报撰写工具、讨论工具总结、评价，引发思考口头汇报、互评，反思 此模式适用于研究一些用数学知识解决社会性问题，如分期付款问题、投资回报问题、问题等等，模式的运用要求在Internet教学环境中，师生熟练使用浏览器、搜索引擎、Excel等表格工具、Word等文字处理工具、PowerPoint等演示工具，学生具备一定的协作技巧和进行口头、书面汇报的能力。教学效果的评价可以从问题解决、汇报、协作等方面进行。
以上是我们在这个领域所作的一点探索，所提的模式并不能包含所有内容的教学，还有许多内容的模式尚待研究，相信随着信息技术与数学教学整合研究的深入，这些模式会得到不断的修正、完善，更多的模式也会出现。
参考文献 [1]北京师范大学现代教育技术研究所.深圳市南山实验学校.信息技术与课程整优秀案例论文集.高等教育出版社，2001.11. [2]冯克诚，田晓娜.最新教学模式全书（上卷）.国际文化出版公司，1997.8. [3]高文主编.现代教学的模式化研究.山东教育出版社，2000. [4]何克抗，李克东主编.信息技术与语文教学改革全国经验交流会论文集.全国学科“四结合”总课题(内部资料).1997-2001./www.etc.edu.cn/articledigest10/net-instruction.htm. [6]李克东.数字化学习——信息技术与课程整合的核心.电化教育研究.2001.(8).(9)./www.etc.edu.cn/academist/ysq/infor-tech-sub.htm. [8][美]贝尔.中学数学的教与学.许振声等译.北京：教育科学出版社，1990.8./www.cbe21.com/subject/maths/jxck.php. [10]向玉琴，刘英健.美国小学数学教学的基本特征.山东教育.1998.（3）. [11]张武升.关于教学模式的探讨.教育研究.1988.（5）. [12]祝智庭主编.现代教育技术——走进信息化教育.高等教育出版社，2000.9. [13]BruceJoyce，MarshaWeil&EmilyCalhoun，ModelsofTeaching，Allyn&Bacon，1999./www.techknowlogia.org.
小学数学概念论文范文第3篇
精彩的课堂来自于课堂精彩之处，源于学生的心底之音。日常的、平常的、正常的，即所谓家常的、常态的小学数学课堂教学就应如水，来自山间，来自江河，更应来自心灵，来自学生的感受和感悟，顺其自然，顺势而导，顺逆从容，顺应而生！
【摘要】结合美国数学家杜宾斯基等人提出的一种数学教学理论――APOS理论。先分析对APOS理论四阶段（活动阶段、过程阶段、对象阶段和图式阶段）的认识，然后通过“三角形的认识”的教学实践尝试了APOS理论在小学数学概念教学中的应用，主要分析三角形的定义、特征以及底和高等多个概念之间的内在联系。
【关键词】APOS理论 小学数学概念 教学模式 三角形的认识
一、引言
我们都知道，数学概念就是数学知识的“细胞”，数学学习过程就是一个不断运用数学概念的思维过程。高斯曾经指出，在数学中重要的不是符号，而是概念。数学概念是人们对客观事物在感性认识的基础上经过比较、分析、综合、概括、判断、抽象等一系列思维活动，逐步认识到它的本质属性以后才形成的。
由于数学具有高度抽象性，在教学中应该注重体现概念的来龙去脉，经历数学概念从具体到抽象的过程，在运用中逐步理解概念的本质。但在一线教学实践中，很多教师认为概念就是一种规定，就是一种定义，就是一种约定俗成，没什么好讲的，只要能记住就行；
或者认为小学阶段的数学概念大多“显而易见”，无须多讲；
或者浅尝辄此，草草收场，节省时间用来“刷题”。此现象在常态课中屡见不鲜，如何才能将小学数学概念教学执行“到位”？下面就结合APOS理论，以《三角形的认识》为例，简要谈一谈小学数学概念教学模式。
二、引论
APOS理论是20世纪80年代由美国数学教育家杜宾斯基提出来的一种关于数学概念学习的理论，这种理论具有很强的数学学科特色，被誉为近年来数学教育界最大的理论成果之一。该理论认为学生学习数学概念需要经历四个阶段的心理建构，即活动阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）和图式阶段（Scheme），简称APOS。指出：学生学习是一个建构的过程，建构是有层次的，反映的是学生学习数学概念过程的真实的思维活动。
尽管国内外众多学者对教学模式的解说不一，无法达成一致认识，我更愿意接受这样的观点，教学模式指的是在一定教学思想指导下所建立的比较典型的、稳定的教学程序或阶段，又称为“教学结构”。教学模式源于教学实践又反过来指导教学实践，是人们在长期的教学实践中不断总结、改良之后逐步形成的。小学数学概念教学的重要地位和价值无须赘言，是否应该有相对适用、合理而有效的模式可供参考和借鉴？大家所熟知的概念形成模式、同化模式、“七阶段”模式等，在小学数学教学中都得到了广泛的认同和使用。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。”“数学概念具有过程和对象的双重性，它既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。”
小学数学概念的本质如何让学生在学习过程得到揭示和经历其发展过程成为制约小学数学教学发展的重要因素，APOS理论在小学数学教学中的合理运用，可以充分体现小学数学概念的形成过程，充分反映学生个体认知数学概念的思维过程，充分揭示小学数学概念学习的本质。更为重要的是，这与当前我国新一轮课程改革所倡导的理念是一脉相承的。
基于此，我想以一节涉及很多数学概念的课为例，来分析如何使用APOS理论作为指导，突出各概念间的联系，更为重要的是剖析概念之间以及概念域和特征之间的内在联系。
四、引h
在教学《三角形的认识》中，结合APOS理论可看出：
对三角形的认识中相关概念属性的具体操作、观察，呈现数学概念的具体实例阶段就相当于活动阶段；
从多个具体操作、具体活动和具体实例中抽象概括出三角形相关概念属性的阶段则是过程阶段；
将每个概念或概念组作为一个个抽象的概念出现在头脑中，是能将概念作为一个独立的对象并施加各种心理运算的阶段就是对象阶段；
图式阶段指对三角形有关概念的具体实例、本质属性及其应用的认识进一步充实丰富之后，这些概念会以一种完整的心理图式贮存于大脑中，包括具体的“活动”――实例、抽象的“过程”、完整的“对象”――定义，以及与其他概念之间的区分与联系，等等。
本节课的教学，最能体现APOS理论在小学数学概念教学中的运用价值，因为，“数学概念教学应该返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型，概念的抽象过程、形式表述和符号化的运用等多方位、多角度地理解一个数学概念，使之符合学生概念建构的教育原理。”基于此，笔者认为基于APOS理论指导下的小学数学概念教学可以从以下几个方面着手：
第一，APOS理论的“四阶段”在同一个（或单一）概念教学中的使用是按顺序依次进行的，但是对单位时间内要完成多个有紧密联系的“概念组”来说就可能需要多次重复、交叉进行这四个阶段的任务。
第二，小学数学概念的建立需要经过长时间的多次反复过程。一个概念的建立从“活动”“过程”到“对象”的不断抽象、具体、压缩、形成，直到学生理解是一个较为漫长的过程，特别是达到“图式”阶段需要的是学生用简洁的语言、文字、符号表征并在头脑中建立这组概念的直观结构形象。
小学数学概念论文范文第4篇
【关键词】数学概念教学误区实践
误区之一：过度着手于学生的操作活动，却有意无意淡化了语言概括的重要性
注重操作是数学课程标准提出的有效的数学学习方法之一，但不能过分追求，因为数学语言的表达也是学生数学素养的重要方面，两者要并重兼顾。“运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑”是《课程标准（2011年版）》对学生在数学思考方面提出的要求。教师要适时为学生提供模仿和练习语言的机会，给学生表达的机会，引导学生用语言比较完整地叙述思考的过程。
【案例一】《因数与合数》的教学：教师先让学生列出1―20各数的所有因数，然后汇报表格的填写情况，集体订正；
再根据因数的个数进行分类，抽象出质数和合数的概念；
最后出示百数表，先让学生试找100以内的质数和合数，集体订正。并背诵50以内的质数。
本例中，教师非常重视学生在“做”中学，如“写”20以内数的因数。“找”100以内的质数，而忽视了让学生在“言”中悟，忽视学生通过用自己的语言尝试概括概念的内涵，重操作，轻语言。事实上，当教师让学生通过自主列出1-20各数的因数时，学生已经对概念有了模糊的意象，只是不能用精准的数学语言来概括，此时教师也没有引导学生用自己的语言尝试概括概念，而是直接揭示概念，通过背诵记忆概念。这在一定程度上影响了学生逐步舍弃事物的非本质属性而突出本质属性的抽象概括能力的发展，导致学生对概念的理解只停留于表面。当然，在这一阶段，学生的语言最初可能不规范、比较生涩，但经过与同伴对话、教师对话，与概念之间的对话和自我对话后，会慢慢形成具有个体特征的对概念本质理解的语言。也在这种对话过程中，学生将会慢慢地将自身的理解与揭示的概念进行对比，不断矫正，不断接纳，最终理解这一概念。
又如在百数表中找质数和合数环节中，教师关注的是找的结果，忽视了让学生说说找的方法，忽略了让学生讨论这样找的依据，既浪费了找的时间，又导致了找的低效。可以让学生说说怎么找，为什么这样找，然后再让学生独立找。这样不仅能加深学生对概念的理解，更重要的是，在这样的逻辑推理过程中，能提高运用数学语言合乎逻辑地讨论和判断的能力，培养学生有序推理的意识。
误区之二：过分追求直接指向结论的捷径，却忽略了学生经历活动过程的价值
有些教师对已经抽象出的概念或给出的定义，总喜欢引导学生咬文嚼字理解概念中的关键字、词，要求学生默读、诵读直至背诵概念，认为只要找出关键词语，会背了，也就理解了。殊不知“纸上得来终觉浅”，这只是停留在概念知识形成的表征上。
【案例二】《循环小数》的教学：教师先谈话引入新课：校运动会，小强跑400米时，用了75秒，他平均每秒跑多少米？请你在课堂作业本上列竖式计算（指名板演）。然后再出示28÷18和78.6÷11两个算式，让学生笔算并板演，最后抛出几个问题：
师：哪位同学来说一说这三个商的特点？
师：像这样一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。（师板演课题）
师：你认为这一句话中关键字、词有哪些？（无人举手）
师：你觉得这句话中，哪些词是重点词呢？
师：大家一定要记住这些重点的词，现在给大家2分钟时间，看谁能记住这句话。（自由读，再指定学生背诵）
这样的教学设计，学生能理解、会理解“循环小数”这一概念的定义吗？这一定义是教师强加在学生的身上，学生是“被理解”。虽然能背出“循环小数”这一概念的定义，但根本是不知所以然，犯了重结论，轻过程的毛病。
“循环”现象在日常生活中随处可见：四季的轮回、日历的变化、体育老师的口令等。在概念的引入阶段，教师就可为学生提供丰富的感性材料和生活经验进行“对接”，通过学生的观察，师生的对话，一步一步感知循环，深化循环，直至理解循环。先突破“不断地”“重复出现”“无限的”这些教学难点，再通过计算、思考、猜想、讨论等一系列的数学活动，深入探究，进一步巩固加深对循环小数这一数学概念的理解。
误区之三：集中精力解读概念的内涵，却忽略了概念的丰富外延
任何一个概念都包含了内涵和外延。概念的内涵反映了概念中的对象的本质属性，而外延则包含了某个概念的一切对象的范围。如三角形的定义是“由三条线段首尾依次连接而成的图形”，其内涵包括：三条线段、封闭图形、平面图形等；
其外延包括等腰、不等腰三角形，锐角、直角、钝角三角形等。外延与内涵就像概念的形与实，前者具有表象性、直观性，后者具有抽象性、内隐性。厘清数学概念的内涵与外延，是理解和掌握数学概念的标准之一。那么教师在选择例题时，应选择具有普遍外延代表的正例，而非特例。
【案例三】《商的变化规律》的教学：教师创设了这样一个情境：金老师花了100元钱买5元/个的文旦；
王老师花了200元钱买10元/个的文旦；
陈老师花了300元钱买15元/个的文旦。三位老师各买了几个文旦？学生列出了100÷5=20、200÷10=20、300÷15=20这三个算式，然后教师引导学生观察，并探究规律。结果，好几个学生都发现了“被除数依次增加100，除数依次增加5，商不变”这一规律，使探究商的变化规律的过程“节外生枝”，极大地影响了学生学习的效率。而老师还不得不承认他们的发现是对的，导致了教学的尴尬。
如果把例题改为：金老师在利群水果超市买了2个文旦，花了30元钱；
王老师在楚门水果超市买了4个文旦，花了60元钱；
陈老师大众水果超市买了10个文旦，花了150元钱。哪位老师买得便宜？列式：① 30÷2=15，② 60÷4=15，②150÷10=15仔细观察这三个算式，什么变了？什么不变？（被除数和除数都变了，商没变）②式与①比，被除数和除数怎么变？（都乘2，商不变）③式与①比，被除数和除数怎么变？（都乘5，商不变）反过来，①式与②比，被除数和除数怎么变？①式与②比，被除数和除数怎么变？……就可避免了原来的教学“尴尬”“麻烦”。
误区之四：生拉硬拽地对概念的认知从直观感知直接拖至抽象概括，却省略了从“形象―表象―抽象”这一关键桥梁
图形认知是从形象的动作认知到抽象的符号认知中不可或缺的环节。然而，有的教师引导学生通过操作活动获得感性经验的支撑后，直接跳跃到符号认知阶段，抽象出数学概念，省略表象建立的过程，导致学生无法很好地内化。
【案例四】《长方体和正方体认识》的教学：利用课件演示一个长方体，让学生观察、讨论、汇报，得出它的特征：长方体有6个面、8个顶点、12条棱等。本案例的教学中，教师只是通过观察活动获取感性的认识，学生还没有在头脑中建立起长方体丰富的表象时，就抽象出长方体的特征，他们也只能是糊里糊涂地接受这一概念知识，不会真正理解和记忆长方体的特征。犯了重抽象，轻表象的错误。
如果用实物演示切土豆：这个土豆是长方体吗？（不是）这刀切下去，会出现什么？（一个平面）换一个方向切下去，又会出现什么？（又出现一个平面）（还出现一条直直的边）师：这两个面相交于一条直直的边，这条边就叫作长方体的棱。垂直于这两个面再切一刀，又会出现什么？（三个面）（三条棱）（一个顶点）要切成长方体，还要切几刀？一共要切几刀？（还要切3刀，一共要切6刀）就在切土豆的过程中，为学生提供了丰富的面、棱、顶点等概念的形象和表象支撑，加深了学生的理解记忆，哪怕是学困生也能在头脑中形成丰富立体的面、棱、顶点的形象。
小学阶段是学生数学学习的起始阶段，学生的认知水平、思维水平都处于起步阶段，学生对于具体形象思维的依赖、抽象逻辑思维的不成熟，是他们的专利，因此，小学数学概念的形成，更多地需要形象或表象的支撑，它必须经历“形象―表象―抽象”这一转化过程。
误区之五：专注于概念模型的构建，却遗漏了学以致用的重要环节
使学生理解并能运用概念解决实际问题是概念教学的最终目的。而在实际教学中，有的教师往往比较重视由具体到抽象这个环节，而忽视了由抽象到具体这个运用环节。以为学生听懂了概念，记住了概念，就是理解了、掌握了，导致偏离了概念教学的目的。学生是否理解和掌握概念，评价的主要标准在于能否正确的、灵活地运用概念。因此，概念教学要克服重建构轻应用的倾向。
【案例五】在“方程的认识”这一课时中，有些教师以天平为载体，引导学生用式子表示天平两边物体的质量关系（300+300=600；
300×2=600；
240+240240；
X+50=100；
X+50
再通过对算式进行一次、二次的分类来比较式子的异同，直至抽象概括出方程的含义：含有未知数的等式叫方程。把大量的时间花在对算式分类整理这一环节上。在方程这一概念建构时，我们不仅利用天平这一直观载体引导学生认识方程的意义，更应注重实际生活中的等量关系，在未知数和已知数之间建立的等量关系中理解方程。如：
① 全班共有48位同学，分成X组，每组8位同学。
② 每本练习本1.5元，学校买了X本，共花去600元。
③ 杨戈电影城2号厅一共有150个座位，观众已坐了X个座位，还有20个座位。你能用含未知数X的式子来表示吗？你能用方程X+50=100编题吗？
重视概念的应用性也是数学教育改革的趋势，强化数学应用意识，增进和培养学生解决问题的能力，是数学学科和社会发展的需要，数学概念的学习，最终要应用概念解决问题。我们在方程这一概念建构时，不仅利用天平这一直观载体引导学生认识方程，还应该结合生活中的等量关系来理解方程，在运用的基础上建构方程的意义。
当然，人们常说：教学永远是一门遗憾的艺术。小学数学概念教学也不例外，不管哪堂概念课，当你课后反思的时候，总会觉得有这样那样的失误或遗憾。我想，正是在不断解决这样失误和那样遗憾的过程中，使我们的教学水平不断得到提升。
【参考文献】
[1] 林武.小学数学概念教学＼[M＼].北京：教育科学出版社，2014.
小学数学概念论文范文第5篇
一、数学概念
在数学概念中的数形结合，就是借助于直观形象模型去理解抽象的数学语言或数量关系，即用有形的数学教具、数学模型和数学概念、定义、规律等数学知识有机结合，帮助学生感知、生成、深化概念。
1.图形演示，理解概念
图形演示是理解概念的最常用的方法，借助丰富的感性材料联系具体形象的模型演示出数学概念最抽象的最本质的属性，从而丰富了学生的感性认知，更为理解数学概念。
如“求一个数的几倍是多少”，学生最不易理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有个深刻的印象，用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。可以利用多媒体技术在第一行排出3根一组的红色小木棒，再在第二行排出3根一组的蓝色的小木棒，第二行一共排4组蓝色小木棒。
结合演示，让学生观察比较两行小木棒的数量特征，再启发学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：红色小木棒是1个3根，蓝色小木棒是4个3根；
把一个3根当作一份，则红色小木棒是1份，而蓝色小木棒就有4份。用数学语言：把红色小木棒当作1倍，蓝色小木棒的根数就是红色小木棒的4倍。这样，从演示中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。
2.借形设问，形成过程
在概念教学中要借助学生熟知的能够触摸和直接感知的有形物体或图形，设置一些步步深入的诱导性问题，从感知到认识的思维过程，再引导学生通过观察、比较、分析、概括逐步形成新的概念。有助于加强学生理解与运用概念，同时激发学生的数学思维。如，教学“体积”概念。教师可以借助形象物体设问，引导学生分析比较。首先观察物体，初步感知。
让学生观察教室门和黑板并说出谁大谁小，再出示两个边长分别为2厘米和5厘米的正方形纸板用同样的方法，这样建立了学生对物体大小的初步感性认识。接着出示两个同样的玻璃杯都?b有半杯水A、B：在B杯中慢慢加入小石子，学生可以观察到，随着小石子投入的增多，杯中的水位不断上升。问：B杯的水位为什么会上升？再引导“为什么B杯的水位会随着放入的小石子增多而升高”这一问题进行深入讨论，通过讨论交流学生自然地领悟“物体所占空间的大小叫体积”这一概念。为了进一步使概念在应用中得到巩固，继续B杯中放石子，学生观察到水溢了出来，启发学生从观察到的现象中发现了什么问题？学生思考后提出：杯里溢出的水的多少与放进去的石子有什么关系？经过讨论得出：从杯里溢出水的体积等于石子的体积。至此，学生不仅认识了概念，而且能够应用概念。
二、数量信息
数量信息是数学问题中常见的呈现方式，用数形结合把复杂问题简单化、抽象问题具体化，挖掘数学问题的本质。使问题化难为易，化繁为简。既可以引进新知、建构概念，还可激发学生的学习兴趣，有利于发展学生的想象力和提高思维力。
1.“以形助数”借助图形的直观性来阐明数间关系
借助图形的直观性将抽象的数学概念、运算等形象化、简单化，挖掘数学的本质。根据题意画直观图分析和找出数量关系，以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。”
如：A、B两车从甲、乙两地相对开出在某个地方相遇。A车行了5小时，每小时54千米；
B车行了7小时，每小时48千米。甲、乙两地相距多少千米？
画图观察分析，明确数量关系：
路程A=速度A×时间A；
路程B=速度B×时间B；
总路程=路程A+路程B
54×5+48×7
=270+336
=606（千米）
或：54×5=270（千米） 48×7=336（千米）
270+336=606（千米）
答：甲、乙两地相距606千米。
2.“以数解形”借助数的精确性来阐明形的某些属性
通过数的运算和变式，求出相应的结果，增强了学生的学习兴趣，扩展了学生的思维，让学生明白学习数学的价值。如求一元一次方程ax+b=0的解的时候可以进行拓展方法。通常是采用转化数学思想，利用等式基本性质求解。我觉得也可以用数形结合的方法，把求方程的解转化为找函数y=ax+b与x轴相交时（即y=0）的交点坐标的横坐标。以“求2x+4=0的解”来说明。
