篇一：aoeabcd
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一、平行四边形中+一条角平分线=一个等腰三角形.............................................2二、平行四边形中+一条角平分线=多个等腰三角形.............................................4三、平行四边形中+两条角平分线=两个等腰三角形+直角三角形
........................5四、平行四边形中+两个等腰三角形=两条角平分线+一个直角三角形................第1页（共8页）
一、平行四边形中+一条角平分线=一个等腰三角形
例1．如图，在?ABCD中，已知AB＝5，AD＝2，DE平分∠ADC交AB于E，则BE的值为（）
A．3B．2.5C．3.5D．2例2．如图，在?ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，BC的长为（）
A．4B．2C．
D．3例3．如图，在?ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的值是（）
A．1B．2C．3D．4例4．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，CD＝6cm，∠D＝40°，BE平分∠ABC，下列结论错误的是（）
A．AE＝6cm
B．ED＝2cm
C．∠BED＝150°
D．∠C＝140°
例5．平行四边形的一个内角的平分线与一边相交，且把这一边分成1cm和2cm两段，那么这个平行四边形的周长为
cm．
例6．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，BC＝7cm，AE＝3cm，则平行四边形ABCD的周长是
．
例7．在?ABCD中，BE平分∠ABC交射线AD于点E，BC＝6，DE＝2，则?ABCD的周长等于
．
第2页（共8页）
例8．如图，在?ABCD中，∠D＝120°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC的度数为
．
例9．如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①AE＞CE；②S△ABC＝AB?AC；③S△ABE＝S△AOE；④OE＝BC；成立的个数有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
例10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝边形ABCDBC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝，正确的有
．；③S平行四＝AB?AC；④OP＝DO；⑤S△APO＝
例11．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
（1）求BC的长；
（2）若∠CBE＝36°，求∠ADC．
第3页（共8页）
二、平行四边形中+一条角平分线=多个等腰三角形
例12．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）
A．
B．
C．1D．2例13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5．∠BCD的平分线交AD于点F，交BA的延长线于点E，则AE的长为
．
例14．如图，在?ABCD中，AB＝18，AD＝12，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF＝4，则线段CG的长为（）
A．2B．6C．4D．例15．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，﹣2）、点B（m，m+2），点C（6，2），则对角线BD平分∠ABC，则BD的长是
．
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三、平行四边形中+两条角平分线=两个等腰三角形+直角三角形
例16．如图，在平行四边形ABCD中，AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，PQ∥AD，若AD＝4cm，AP＝6cm，则△ABP的面积等于（）cm2．
A．3B．
C．24D．
例17．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，连接DE、CE．若DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的角平分线，且AB＝4，则平行四边形ABCD的周长为（）
A．1B．
C．
D．12例18．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E．∠ABC的平分线交CD于点F，已知∠AEF＝30°，则∠C＝
．
例19．如图，在?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE，CF分别是∠ABC与∠BCD的平分线，交AD于点E、F，则线段EF的长为
．
例20．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E、与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE．若DM＝2，则DE的长为
．
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例21．如图，在?ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE．
（1）请判断△ADF的形状，并说明理由；
（2）已知∠ADE＝∠FDE＝30°，AE＝2，求?ABCD的面积．
例22．如图，已知：平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点E，且点E刚好落在AD上，分别延长BE、CD交于F．
（1）CE与BF之间有什么位置关系？并证明你的猜想．
（2）AB与AD之间有什么数量关系？并证明你的猜想；
例23．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．如果AD＝4cm，AP＝10cm，求△APB的面积．
例24．如图，在?ABCD中，AP、BP分别是∠DAB和∠CBA的角平分线，已知AD＝5．
（1）求线段AB的长；
（2）延长AP，交BC的延长线于点Q．①请在答卷上补全图形；②若BP＝6，求△ABQ的周长．
第6页（共8页）
第7页（共8页）
四、平行四边形中+两个等腰三角形=两条角平分线+一个直角三角形
例25．如图所示，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AB＝2BC，BM＝1，AM＝2，则CD的长为（）
A．
B．2C．
第8页（共8页）
D．
篇二：aoeabcd
aoe声调的正确写法
"aoe"声调的正确写法为"áo"é"。"áo"表示第一声，即平声；"é"表示第二声，即仄声。
篇三：aoeabcd
章节测试题
1.【答题】已知：在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则?ABCD的面积是______.
【答案】32【分析】利用平行四边形的性质可证明△AOF≌△COE，所以可得△COE的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=
?ABCD的面积，进而可得问题答案.
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAC=∠BCA，∠AFE=∠CEF，又∵AO=CO，在△AOF与△COF中，，∴△AOF≌△COE，∴△COE的面积为3，∵S△BOF=5，∴△BOC的面积为8，∵△BOC的面积=
?ABCD的面积，∴?ABCD的面积=4×8=32，故答案为：32.
2.【答题】如图，平行四边形ABCD中，AB=AC=4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为______．
【答案】4【分析】先根据∠AOB=∠COD可知S阴影=S△AOB，再由平行四边形的性质得出OA=由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB=∠COD，∴S阴影=S△AOB
．
∵四边形ABCD是平行四边形，AC，∴OA=AC=×4=2．
∵AB⊥AC，∴S阴影=S△AOB=故答案为：4．
OA?AB=
×2×4=4．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟知平行四边形的对角线互相平分是解答此题的关键．
3.【答题】?ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1）．则点C的坐标为（______，______）．
【答案】31【分析】画出图形，根据平行四边形性质求出DC∥AB，DC=AB=3，根据D的纵坐标和CD=3即可求出答案．
【解答】解：
∵平行四边形ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1），∴AB=CD=2-（-1）=3，DC∥AB，∴C的横坐标是3，纵坐标和D的纵坐标相等，是1，∴C的坐标是（3，1），故答案为：（3，1）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，能根据图形进行推理和求值是解此题的关键，本题主要考查学生的观察能力，用了数形结合思想．
4.【答题】如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为______．
【答案】6【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，所以∠CAD=∠ACB，OA=OC，由此可以证明△CON≌△AOM，现在可以求出S△AOD，再根据O是DB中点就可以求出S△AOB
．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CAD=∠ACB，OA=OC，而∠AOM=∠NOC，∴△CON≌△AOM，∴S△AOD=4+2=6，又∵OB=OD，∴S△AOB=S△AOD=6．
故答案为6．
【点评】平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，平行四边形被对角线分成的四部分的面积相等，并且经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．
5.【题文】如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．
【答案】见解答．
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由角平分线证出∠E=∠DAE，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠E=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠E=∠DAE，∴DA=DE．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠E=∠DAE是解决问题的关键．
6.【题文】在?ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在?ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为______．
【答案】4或6【分析】在?ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有两种情况：∠B′AD=90°或∠AB′D=90°，画出图形，分类讨论即可．
【解答】解：当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AD∥BC，∠B′AD=90°，∴∠B′GC=90°，，∵∠B=30°，AB=∴∠AB′C=30°，∴GC=B′C=
BC，∴G是BC的中点，在Rt△ABG中，BG=∴BC=6；
AB=×=3，当∠AB′D=90°时，如图2，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵由折叠的性质：∠BAC=90°，∴AC∥B′D，∴四边形ACDB′是等腰梯形，∵∠AB′D=90°，∴四边形ACDB′是矩形，∴∠BAC=90°，∵∠B=30°，AB=，∴BC=AB÷=4，∴当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：4或6．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论．
7.【题文】在?ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH=EH．
【答案】见解答．
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件易证△EBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质：三线合一即可证明CH=EH．
【解答】证明：∵在?ABCD中，BE∥CD，∴∠E=∠2，∵CE平分∠BCD，∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴BE=BC，又∵BH⊥BC，∴CH=EH（三线合一）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，证题的关键是得到△EBC是等腰三角形．
8.【题文】在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，AB′和CD相交于点O．求证：OA=OC．
【答案】见解答．
【分析】由在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，即可求得∠DCA=∠B′AC，则可证得OA=OC．
【解答】证明：∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形，∴∠BAC=∠B′AC，∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∴∠DCA=∠B′AC，∴OA=OC．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
9.【题文】如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
（1）求∠APB的度数；
（2）如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周长．
【答案】见解答．
【分析】（1）根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB即可；
（2）求出AD=DP=5，BC=PC=5，求出DC=10=AB，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD
∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=在△APB中，（∠DAB+∠CBA）=90°，∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°；
（2）∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA
∴∠DAP=∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，∴AD=DP=5cm
同理：PC=CB=5cm
即AB=DC=DP+PC=10cm，在Rt△APB中，AB=10cm，AP=8cm，∴BP==6（cm）
∴△APB的周长是6+8+10=24（cm）．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．
10.【题文】如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（2）求证：△AB′O≌△CDO．
【答案】见解答．
【分析】（1）根据题意，结合图形可知等腰三角形有△ABB′，△AOC和△BB′C；
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，∠ABC=∠D，又因为，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，故AB′=AB，∠ABC=∠AB′C，则可证△AB’O≌△CDO．
【解答】解：（1）△ABB′，△AOC和△BB′C；
（2）在?ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠D，由轴对称知AB′=AB，∠ABC=∠AB′C，∴AB′=CD，∠AB′O=∠D．
在△AB′O和△CDO中
∴△AB′O≌△CDO（AAS）．
【点评】此题是一道把等腰三角形的判定、平行四边形的性质和全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力．
11.【题文】如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
【答案】见解答．
【分析】（1）根据DE是∠ADC的角平分线得到∠1=∠2，再根据平行四边形的性质得到∠1=∠3，所以∠2=∠3，根据等角对等边即可得证；
（2）先根据BE=CE结合CD=CE得到△ABE是等腰三角形，求出∠BAE的度数，再根据平行四边形邻角互补得到∠BAD=100°，所以∠DAE可求．
【解答】（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，∵AD∥BC
∴∠1=∠3又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CD=CE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，又∵CD=CE，BE=CE，∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA．
∵∠B=80°，∴∠BAE=50°，∴∠DAE=180°-50°-80°=50°．
【点评】（1）由角平分线得到相等的角，再利用平行四边形的性质和等角对等边的性质求解；
（2）根据“BE=CE”得出AB=BE是解决问题的关键．
12.【答题】如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，则四边形BEDF的形状是______．
【答案】平行四边形
【分析】
【解答】
13.【答题】如图，□ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）
A.3B.6C.12D.24【答案】C
【分析】
【解答】
14.【答题】平行四边形的周长为24cm，一组邻边的差为1cm，则较长的边为（）
A.4.5cmB.5.5cmC.6.5cmD.7.5cm
【答案】C
【分析】
【解答】
15.【答题】在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）
A.1：2：3：4B.3：4：4：3C.3：3：4：4D.3：4：3：4【答案】D
【分析】
【解答】
16.【答题】如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD，若CE=3cm，AB=4cm，则□ABCD的周长是（）
A.20cmB.21cmC.22cmD.23cm
【答案】C
【分析】
【解答】
17.【答题】如图，在□ABCD中，∠A=120°，则∠C=______．
【答案】120°
【分析】
【解答】
18.【答题】如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF=58°，则∠B=______．
【答案】58°
【分析】
【解答】
19.【答题】如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为______．
【答案】25°
【分析】
【解答】
20.【题文】已知：如图，在□ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE=OF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD
∵BE=DF，∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF．
∵AB∥CD，∴∠E=∠F，∠OAE=∠OCF
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF．
【分析】
【解答】
篇四：aoeabcd篇五：aoeabcd
人教新版八年级下学期《第18章
平行四边形》
单元测试卷
一．选择题（共21小题）
1．如图，在?ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则?ABCD的周长为（）
A．26cm
B．24cm
C．20cm
D．18cm
2．如图，?ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（）
A．15B．1C．21D．243．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO＝3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC＝（）
A．6：2：1B．3：2：1C．6：3：2D．4：3：24．下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AD∥BC，AB∥CD
C．AD∥BC，AB＝DC
B．AB∥CD，AB＝CD
D．AB＝DC，AD＝BC
5．?ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一第1页（共60页）
定为平行四边形的是（）
A．BE＝DF
B．AE＝CF
C．AF∥CE
D．∠BAE＝∠DCF
6．如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF．若AB＝8，则DF的长为（）
A．3B．4C．2D．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（）
A．2B．3C．4D．28．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）
A．AB＝AD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．∠ABO＝∠CBO
9．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）
第2页（共60页）
A．B．C．4D．310．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（）
A．24B．1C．12D．11．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAO，则AB的长为（）
A．3B．4C．
D．
12．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）
A．1B．12C．16D．113．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）
A．1B．
C．第3页（共60页）
D．
14．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
15．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
16．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于
（）
A．1B．
C．
D．
17．下列说法中，正确个数有（）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
18．下列说法中，正确的是（）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．相等的角是对顶角
第4页（共60页）
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
19．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）
A．
B．
C．
D．
20．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（）
A．
B．4C．4.5D．521．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF＝S△ADF；②S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF，其中正确的是（）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
二．填空题（共11小题）
22．如图，P是?ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若?ABCD的面积为16cm，则△PEF的面积（阴影部分）是
cm．
22第5页（共60页）
23．如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是
．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为
．
25．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为
．
26．如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE＝AB，CF＝CB，AG＝AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于
．
27．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是
．
第6页（共60页）
28．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为
．
29．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为
．
30．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为
．
31．以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是
．
32．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为
．
第7页（共60页）
三．解答题（共18小题）
33．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接
DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．
（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．
34．如图，在?ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．
35．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．
（1）求证：△APD≌△BQC；
（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．
第8页（共60页）
36．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：
（1）∠BOD＝∠C；
（2）四边形OBCD是菱形．
37．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
38．如图，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：?ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求?ABCD的面积．
39．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．
第9页（共60页）
（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
40．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是
．
41．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：GF＝GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
42．如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD的度数．
第10页（共60页）
43．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
44．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
45．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．
46．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
第11页（共60页）
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
47．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
48．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE，AF交于点O，且AE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若BO＝4，OE＝2，求正方形ABCD的面积．
49．矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）EG＝FH．
第12页（共60页）
50．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
第13页（共60页）
人教新版八年级下学期《第18章
平行四边形》2019年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
1．如图，在?ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则?ABCD的周长为（）
A．26cm
B．24cm
C．20cm
D．18cm
【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC＝9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．
【解答】解：∵AC＝4cm，若△ADC的周长为13cm，∴AD+DC＝13﹣4＝9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴平行四边形的周长为2（AB+BC）＝18cm．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质．此题利用了“平行四边形的对边相等”的性质．
2．如图，?ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（）
A．15B．1C．21D．24【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；
【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，∴BC+CD＝18，第14页（共60页）
∵OD＝OB，DE＝EC，∴OE+DE＝（BC+CD）＝9，∵BD＝12，∴OD＝BD＝6，∴△DOE的周长为9+6＝15，故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
3．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO＝3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC＝（）
A．6：2：1B．3：2：1C．6：3：2D．4：3：2【分析】连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m．由FO：OC＝3：1，BE＝OB，AF∥OE可得S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝m，S△AOC＝，由此即可解决问题；
【解答】解：连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m．
∵FO：OC＝3：1，BE＝OB，AF∥OE
∴S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝m，S△AOC＝∴S△AOB：S△AOC：S△BOC＝m：故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
4．下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（），：m＝3：2：1第15页（共60页）
A．AD∥BC，AB∥CD
C．AD∥BC，AB＝DC
B．AB∥CD，AB＝CD
D．AB＝DC，AD＝BC
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可；
【解答】解：A、由AD∥BC，AB∥CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
B、由AB∥CD，AB＝CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
C、由AD∥BC，AB＝DC不能判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意；
D、由AB＝DC，AD＝BC可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
5．?ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）
A．BE＝DF
B．AE＝CF
C．AF∥CE
D．∠BAE＝∠DCF
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；
故选：B．
第16页（共60页）
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF．若AB＝8，则DF的长为（）
A．3B．4C．2D．3【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG＝4，设CD＝x，则EF＝BC＝2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF＝EG＝4．
【解答】解：取BC的中点G，连接EG，∵E是AC的中点，∴EG是△ABC的中位线，∴EG＝AB＝＝4，设CD＝x，则EF＝BC＝2x，∴BG＝CG＝x，∴EF＝2x＝DG，∵EF∥CD，∴四边形EGDF是平行四边形，∴DF＝EG＝4，故选：B．
第17页（共60页）
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（）
A．2B．3C．4D．2【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5，进而得出DE＝3，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝2，∴DE＝3，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD＝故选：C．
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5．
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（），A．AB＝AD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．∠ABO＝∠CBO
第18页（共60页）
【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当∠ABO＝∠CBO时，由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，∴∠ABO＝∠ADO，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．
9．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）
A．B．C．4D．3【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，根据勾股定理，得：OB＝∴BD＝2OB＝8，故选：A．
＝＝4，第19页（共60页）
【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．
10．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（）
A．24B．1C．12D．【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长＝4BC问题得解．
【解答】解：∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝BC，∴BC＝6，∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线的性质及菱形的周长公式，题目比较简单．
11．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAO，则AB的长为（）
A．3B．4C．第20页（共60页）
D．
【分析】由矩形的性质可得AO＝CO＝BO＝DO，可证△ABE≌△AOE，可得AO＝AB＝BO＝DO，由勾股定理可求AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝CO＝BO＝DO，∵AE平分∠BAO
∴∠BAE＝∠EAO，且AE＝AE，∠AEB＝∠AEO，∴△ABE≌△AOE（ASA）
∴AO＝AB，且AO＝OB
∴AO＝AB＝BO＝DO，∴BD＝2AB，∵AD+AB＝BD2，∴36+AB＝4AB，∴AB＝2故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键．
12．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）
2222A．1B．12C．16D．1【分析】想办法证明S△PEB＝S△PFD解答即可．
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，第21页（共60页）
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S阴＝8+8＝16，（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD．
13．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）
A．1B．
C．
D．
【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝，从而得出答案．
【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，第22页（共60页）
∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，∴PD＝AD﹣AP＝1，∵CG＝2、CD＝1，∴DG＝1，则GH＝PG＝×故选：C．
【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．
14．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
＝，【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．
15．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
第23页（共60页）
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于
（）
A．1B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．
∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴＝S正方形ABCD＝，故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．
17．下列说法中，正确个数有（）
①对顶角相等；
第24页（共60页）
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．
【解答】解：①对顶角相等，故①正确；
②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；
③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，故选：B．
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质，熟记对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质是解题关键．
18．下列说法中，正确的是（）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．相等的角是对顶角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．
【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质等知识点，能熟记平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质的内容是解此题的关键．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）
第25页（共60页）
A．
B．
C．
D．
【分析】过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD＝3，首先证明△AEB≌△GED，由全等三角形的性质可得到AE＝EG，设AE＝EG＝x，则ED＝4﹣x，在Rt△DEG中依据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图所示：过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD＝3．
∵∠A＝∠G，∠AEB＝∠GED，AB＝GD＝3，∴△AEB≌△GED．
∴AE＝EG．
设AE＝EG＝x，则ED＝4﹣x，在Rt△DEG中，ED＝GE+GD，x+3＝（4﹣x），解得：x＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是矩形的性质、勾股定理的应用，依据题意列出关于x的方程是解题的关键．
20．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（）
222222第26页（共60页）
A．
B．4C．4.5D．5【分析】设FC′＝x，则FD＝9﹣x，根据矩形的性质结合BC＝6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x，∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD＝BC＝6，C′D＝3．
在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3，∴FC′＝FD+C′D，即x＝（9﹣x）+3，解得：x＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt△FC′D中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元一次方程是解题的关键．
21．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF＝S△ADF；②S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF，其中正确的是（）
222222A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
【分析】由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF＝S△ADF，故①正确，由BE＝EC＝BC＝AD，AD∥EC，推出＝＝＝，可得S△CDF＝2S△CEF，S△ADF＝4S△CEF，S△ADF＝2S△CDF，故②③错误④正确，由此即可判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，AD＝BC＝AB，∠FAD＝∠FAB，在△AFD和△AFB中，第27页（共60页），∴△AFD≌△AFB，∴S△ABF＝S△ADF，故①正确，∵BE＝EC＝BC＝AD，AD∥EC，∴＝＝＝，∴S△CDF＝2S△CEF，S△ADF＝4S△CEF，S△ADF＝2S△CDF，故②③错误④正确，故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共11小题）
22．如图，P是?ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若?ABCD的面积为16cm，则△PEF的面积（阴影部分）是
cm．
22【分析】先根据S?ABCD＝16cm知S△PBC＝S?ABCD＝8，再证△PEF∽△PBC得22＝（），即＝，据此可得答案．
2【解答】解：∵?ABCD的面积为16cm，∴S△PBC＝S?ABCD＝8，∵E、F分别是PB、PC的中点，第28页（共60页）
∴EF∥BC，且EF＝BC，∴△PEF∽△PBC，∴＝（），即2＝，∴S△PEF＝2，故答案为：2．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质．
23．如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是
1．
【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，AC+BC＝5+12＝169，AB＝13＝169，∴AC+BC＝AB，∴∠ACB＝90°，∵AC∥DE，∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC＝BD，∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，故答案为：18．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形第29页（共60页）
222222222的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为
．
【分析】根据菱形的性质分别求出OB、OC，根据勾股定理求出BC，根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝3，OC＝AC＝4，在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC＝∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OF，∴OF＝∴EF＝故答案为，．
．
＝5，【点评】本题考查的是菱形的性质，掌握菱形的面积公式、菱形的性质定理是解题的关键．
25．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为
（2，﹣3）
．
【分析】根据轴对称图形的性质即可解决问题；
【解答】解：∵四边形OABC是菱形，∴A、C关于直线OB对称，第30页（共60页）
∵A（2，3），∴C（2，﹣3），故答案为（2，﹣3）．
【点评】本题考查菱形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用菱形是轴对称图形解决问题．
26．如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE＝AB，CF＝CB，AG＝AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于
2．
【分析】在CD上截取一点H，使得CH＝CD．连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P．想办法证明四边形EFGH是矩形，四边形EPOQ是矩形，根据矩形EPOQ的面积是3，推出菱形ABCD的面积即可；
【解答】解：在CD上截取一点H，使得CH＝CD．连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P．
∵＝，∴EG∥BD，同法可证：FH∥BD，∴EG∥FH，同法可证EF∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥EG，∴四边形EFGH是矩形，易证点O在线段FG上，四边形EQOP是矩形，第31页（共60页）
∵S△EFG＝6，∴S矩形EQOP＝3，即OP?OQ＝3，∵OP：OA＝BE：AB＝2：3，∴OA＝OP，同法可证OB＝3OQ，∴S菱形ABCD＝?AC?BD＝×3OP×6OQ＝9OP×OQ＝27．
故答案为27．
【点评】本题考查菱形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
27．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是
（﹣5，4）
．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴AD＝5，∴由勾股定理知：OD＝∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
＝＝4，【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．
28．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为
（8，4）第32页（共60页）
或（，7）
．
【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，∵D（5，0），∴OD＝5，∵点P是边AB或边BC上的一点，∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5，∵AD＝3，∴PA＝∴P（8，4）．
当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．
故答案为（8，4）或（，7）．
【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
29．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为
2.5．
＝4，【分析】根据矩形的性质可得AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD＝5，再根据三角形中位线定理可得PQ＝DO＝2.5．
第33页（共60页）
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD，∴OD＝BD＝5，∵点P、Q是AO，AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线，∴PQ＝DO＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．
30．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为
①②③
．
【分析】先判定△MEH≌△DAH，即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM＝HM；依据当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，即可得到Rt△ADM中，DM＝2AM，即可得到DM＝2BE；依据点M是边BA延长线上的动点，且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC＝45°，即可得出∠CHM＞135°．
【解答】解：由题可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，第34页（共60页）
∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM＝HM，故②正确；
当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正确；
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC＝45°，∴∠CHM＞135°，故③正确；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质的综合运用，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
31．以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是
30°或150°
．
【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠CDE＝150°，又AB＝AE，DC＝DE，第35页（共60页）
∴∠AEB＝∠CED＝15°，则∠BEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED＝30°．
如图2，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∴DE＝DC，∴∠CED＝∠ECD，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∴∠CED＝∠ECD＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠BEC＝360°﹣75°×2﹣60°＝150°．
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
32．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为
．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
第36页（共60页）
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，∴BF＝∴GH＝BF＝故答案为：．
＝，，【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
三．解答题（共18小题）
33．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接
DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．
（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．
第37页（共60页）
【分析】（1）由E是AC的中点知AE＝CE，由AB∥CD知∠AFE＝∠CDE，据此根据“AAS”即可证△AEF≌△CED，从而得AF＝CD，结合AB∥CD即可得证；
（2）证△GBF∽△GCD得得答案．
【解答】解：（1）∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，∵，＝，据此求得CD＝，由AF＝CD及AB＝AF+BF可∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，又AB∥CD，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）∵AB∥CD，∴△GBF∽△GCD，∴＝，即＝，解得：CD＝，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF＝CD＝，第38页（共60页）
∴AB＝AF+BF＝+＝6．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形、相似三角形及平行四边形的判定与性质．
34．如图，在?ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．
【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；
（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN＝即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，∴DM＝BN，∵CD＝AB，CD∥AB，∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，∵∠CEM＝∠AFN＝90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，AN＝＝＝13．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知第39页（共60页）
识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
35．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．
（1）求证：△APD≌△BQC；
（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．
【分析】（1）只要证明AD＝BC，∠ADP＝∠BCQ，DP＝CQ即可解决问题；
（2）首先证明四边形ABQP是平行四边形，再证明AB＝AP即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCQ
∵DP＝CQ，∴△ADP≌△BCQ．
（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD＝PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD＝∠BQC，∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，第40页（共60页）
∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∴四边形ABQP是菱形．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
36．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：
（1）∠BOD＝∠C；
（2）四边形OBCD是菱形．
【分析】（1）延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；
（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）延长OA到E，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，又∠BOE＝∠ABO+∠BAO，第41页（共60页）
∴∠BOE＝2∠BAO，同理∠DOE＝2∠DAO，∴∠BOE+∠DOE＝2∠BAO+2∠DAO＝2（∠BAO+∠DAO）
即∠BOD＝2∠BAD，又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C；
（2）连接OC，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC，∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答．
37．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
第42页（共60页）
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝∴OA＝∴OE＝OA＝2．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键．
38．如图，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：?ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求?ABCD的面积．，OB＝1，＝2，第43页（共60页）
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；
（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD
∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3，∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝∴BD＝2BO＝8，∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．
＝＝4，【点评】本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
39．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、第44页（共60页）
外角∠ACD的平分线于点E、F．
（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，证出OE＝OC＝OF，∠ECF＝90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝∴OC＝OE＝EF＝5；
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．
第45页（共60页）
＝10，【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF＝90°是解题关键．
40．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是
．
【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；
（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC?BD＝×4×2＝4．
故答案是：4．
第46页（共60页）
【点评】考查了矩形的判定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角．
41．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：GF＝GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；
（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME≌△EBH，则EM＝BH，根据等腰直角△AEM得：EM＝AE，得结论；
证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，第47页（共60页）
∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；
（2）BH＝AE，理由是：
证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝∴BH＝AE，AE；
证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，第48页（共60页）
∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
42．如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
第49页（共60页）
（2）求∠AOD的度数．
【分析】（1）利用正方形的性质得出AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，即可得出结论；
（2）利用（1）的结论得出∠ADF＝∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO＝90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，在△DAF和△ABE中，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF＝∠BAE，∵∠ADF+∠DAO＝∠BAE+∠DAO＝∠DAB＝90°，∴∠AOD＝180°﹣（∠ADF+DAO）＝90°．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出△DAF≌△ABE是解本题的关键．
43．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．，【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；
（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．
第50页（共60页）
篇六：aoeabcd
2022年各地中考平行四边形解答题
1.（2022北京中考）如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE?CF.（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若?BAC??DAC,求证：四边形EBFD是菱形.
2.（2022年广西河池市中考）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
（1）求证：∠ACB＝∠DFE；
（2）连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．
3.2022年山东省烟台市中考）如图，在?ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．
4.（2022年广州市中考）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，连结BD。
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=3DF，①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？
如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由。
5.（2022年广西桂林市中考）如图，在?ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．
（1）求证：BE＝DF；（2）求证：△ABE≌△CDF．
6.（2022年百色市中考）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形
ABCD，其中
AB=CD=2米，AD=BC=3米，∠B=30?
(1）求证：
△ABC≌△CDA;(2）求草坪造型的面积．
7.（2022年湖北省仙桃市中考）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；
（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．
（图1）
（图2）
8.（2022年长沙市初中学）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=边形ABCD的周长．
3，AO=2，求BD的长及四29.（2022年长春市中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB＜BC.点D是AC的中点，过点作DE⊥AC交BC于点E.延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF.(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若????????＝，则tan∠BCF的值为
.4110.（2022年江西省中考）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，?ACD??ABE．
（1）求证：?ABC∽?AEB；
（2）当AB?6，AC?4时，求AE的长．
11.（2022年江苏省泰州市中考）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.
12.（2022年苏州市初中学）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．
13.（青海省2022年中考）如图12，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE.(1)求证:△DCE?△BCE;(2)求证:∠AFD=∠EBC.
14.（2022年山东省威海市中考）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．
①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
②求四边形AGCH的面积．
（2）如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2AGCH的面积．，BC＝7，CF＝，求四边形
（图1）
（图2）
15.
（2022年山东省泰安市中考）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
(3)若OF=3，EF=2，求DE的长度．
16.（2022年四川省泸州市中考）如图，E，F分别是?ABCD
的边AB，CD上的点，已知AE=CF，求证：DE=BF，17.（2022年四川省雅安市中考）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
18.（2022年四川省遂宁市中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
19.（2022年浙江省宁波市中考）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形.（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上.（画出一个即可）
（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上.
20.（2022年浙江省丽水市中考）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重台，点A落在点P处，折痕为EF，（1）求证：△PDE≌△CDF；
（2）若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.
21.（2022年浙江省温州市中考）如图，在?ABC中，AD?BC于点D，E，F分别是AC，连结DE，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，FG．
AB的中点，EF，（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）当AD?5，tan?EDC?5时，求FG的长．
22.（2022年山东省临沂市中考）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
23.（2022年衡阳市中考）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设△POM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动时间为t（秒）．
（1）当点M与点B重合时，求t的值；
（2）当t为何值时，△APQ与△BMF全等；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2?t?4时，求点E运动路径的长．
24.（2022年赤峰市中考）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形.受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的OC1交BC于点F，OA1交AB于点E，一个顶点，则AE与BF的数量关系为_________；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m?n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
25.（重庆市2022年中考
??
卷）我们知道,矩形的面积等于这个矩形的长乘宽,小明想用其验证一个底为
??,高为
的三角形的面积公式为
??=2???.想法是:以
????
为边作矩形
????????,点
??
在边
????
上,再过点
??
作
????
的垂线,将其转化为证三角形全等,由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空:证明:用直尺和圆规过点
??
作
????
的垂线
????
交
????
于点
??.(只保留作图痕迹)在
△??????
和
△??????
中,∵????⊥????,∴∠??????=90°.∵∠??=90°,∴
.
∵????//????,∴
.又
∵
.∴△???????△??????(??????).同理可得:
.1111??△??????=??△??????+??△??????=??+??=??=???.
2矩形????????2矩形????????2矩形BCFE21126.（2022年深圳市中考）【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将AEB沿BE翻折到BEF处，延长EF交CD边于G点.求证：BFG≌BCG.
(2)【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD?8,AB?6,将AEB沿BE翻折到BEF处，延长EF交BC边于点G,延长BF交CD边于点H,且FH?CH,求AE的长.
(3)【拓展应用】如图③，在菱形ABCD中，E为CD边上的三等分点，?D?60?,将ADE沿AE翻折得到AFE,直线EF交BC于点P,求CP的长.
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